교수님이 미적분 관련 자료를 주셨는데 원서 자료라서 급할 때 보려면 미리 해석+요약을 해놔야 될 것 같다...
요약)
y=f(x)라 하자.
y의 최대값은 f′(x)=0이라고 둠으로써 찾을 수 있다.
즉 xs.t.f′(x)=0에 대해 y=f(x)는 최대값을 갖는다.
이 때 y는 이익(profit), x는 생산량(quantity produced)이다.
함수와 미분
경제학에서는(그리고 다른 여러 분야도 마찬 가지로) 다음과 같이 두 변수의 관계를 자주 사용한다.
가격에 따른 수요, 생산량에 따른 비용, ...
이런 관계를 "함수(Functions)"라고 부른다.
더 엄밀히는, 어떤 함수 f는 x의 각 가능한 값에 단일 값 y를 assign한다. 그리고 이를 y=f(x)로 표기한다.
함수를 구상하는 가장 쉬운 방법은 xy좌표에 그려보는 것이다. 일반적으로 연속함수에 관심을 둘 것이다.
함수의 기울기는 그 함수가 얼마나 가파른지 나타내는 척도다. 이는 x 변화에 대한 y 변화의 비율(ΔyΔx)로 정의된다.
직선에 대해서는 두 점을 고르고 ΔyΔx을 계산함으로써 기울기를 알 수 있다. 그러나 대부분의 함수는 모든 점에서 기울기 값이 다르다. 모든 점에 대해 접선을 그려보는 것도 하나의 방법이겠으나, 가장 쉬운 방법은 다음을 계산하는 것이다.
ΔyΔx=f(x+Δx)−f(x)Δx
위 식을 함수 f(x)의 미분(derivative) f′(x)라 하며, 이를 계산함으로써 각 점 x에서의 기울기를 알 수 있다.
위 식의 값이 정의되는 경우를 '미분 가능하다'고 하다. 이때 함수가 불연속한 점을 갖거나 첨점(Sharp point)이 있을 경우 미분 불가능한 점이 있을 수 있다.
즉, 함수가 연속이면서 매끄러운(continuous and smooth) 경우에만 모든 점에서 미분을 계산할 수 있다.
또한 f′(x) 대신 dydx로도 '미분'을 표기할 수 있다.
정말 미분 값이 0이면 항상 최대값이라고 할 수 있을까?
ⓐ f′(x0)=0이라고 하자. f(x0)은 최대값일 수도, 최소값일 수도 있다. 미분값이 0인 점은 최소거나 최대다.
즉 a≠b에 대해 f′(a)=f′(b)=0일 수 있으며, 이때 어느쪽이 최대인지 알려면 f(a)와 f(b)를 비교하는 방법밖에 없다.
미분 값이 0이라고 해서 '여기가 최대다!'라고 단정지을 수 없다는 얘기다.
ⓑ 하나 이상의 "극대값(local maximum)"이 존재할 수 있다.
함수의 일부에서는 최대지만 전체에서는 최대가 아닐 수 있다.
즉 함수 전체에서 가장 값이 크진 않지만 주위의 모든 함수값보다 큰 값을 갖는 경우가 바로 이런 경우이며, 이런 값을 '극대값'이라고 한다.
반대인 '극소값'도 존재한다.
ⓒ 최대값도, 최소값도 아니면서 미분값이 0이 될 수도 있다.
예를 들어 증가하다가 얼마 동안 평탄하고(기울기=0) 다시 증가하는 함수의 경우 기울기가 0인 점이 반드시 최대/최소점이라고 할 수 없다. f(x)=x3에서 점 x=0이 대표적인 경우다.
이윤 극대화(Maximizing profit)
어떤 회사가 가격 p, 수량 q에 대해 다음과 같은 수요를 갖는다고 하자.
q=10−2p
비용은 생산량의 2배라고 하자.
이 회사의 이익은 얼마인가? 이윤이 가장 큰 생산량은 얼마인가?
이윤 π는 (수입) - (비용)으로 정의된다. 그리고 수입은 (가격)×(생산량) = pq, 비용은 생산량×2이므로 2q로 정의된다.
답을 내기 위한 방법은 이윤을 수량 q로 표현하는 것이다.
주어진 식은 수요곡선이고, 수요곡선은 수입 식에서 가격 항을 제거하기 위해 쓰인다.
즉 주어진 식에 의해 p=10−q2이므로 pq=(10−q)q2가 되며, 이는 q의 함수로 표현된 이윤이므로 다음이 성립한다.
π(q)=pq−2q=(10−q)q2−2q=5q−12q2−2q=3q−12q2
이윤이 극대화되는 점은 π′(q)=3−q 에서 π′(3)=0이므로 이윤이 극대화 되는 생산량 q는 3이다.
그리고 이 q를 주어진 수요곡선에 대입하면 3=10−2p이므로 이윤이 극대화되는 가격 p는 72이 된다.
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