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[미시경제학] 에 필요한 미분적분학

교수님이 미적분 관련 자료를 주셨는데 원서 자료라서 급할 때 보려면 미리 해석+요약을 해놔야 될 것 같다...

 

 

요약)

y=f(x)라 하자.

y의 최대값은 f(x)=0이라고 둠으로써 찾을 수 있다.

xs.t.f(x)=0에 대해 y=f(x)는 최대값을 갖는다.

이 때 y는 이익(profit), x는 생산량(quantity produced)이다.

 

 

 

함수와 미분

경제학에서는(그리고 다른 여러 분야도 마찬 가지로) 다음과 같이 두 변수의 관계를 자주 사용한다.

 

가격에 따른 수요, 생산량에 따른 비용, ...

 

이런 관계를 "함수(Functions)"라고 부른다.

더 엄밀히는, 어떤 함수 fx의 각 가능한 값에 단일 값 y를 assign한다. 그리고 이를 y=f(x)로 표기한다.

 

함수를 구상하는 가장 쉬운 방법은 xy좌표에 그려보는 것이다. 일반적으로 연속함수에 관심을 둘 것이다.

함수의 기울기는 그 함수가 얼마나 가파른지 나타내는 척도다. 이는 x 변화에 대한 y 변화의 비율(ΔyΔx)로 정의된다.

직선에 대해서는 두 점을 고르고 ΔyΔx을 계산함으로써 기울기를 알 수 있다. 그러나 대부분의 함수는 모든 점에서 기울기 값이 다르다. 모든 점에 대해 접선을 그려보는 것도 하나의 방법이겠으나, 가장 쉬운 방법은 다음을 계산하는 것이다.

ΔyΔx=f(x+Δx)f(x)Δx

위 식을 함수 f(x)의 미분(derivative) f(x)라 하며, 이를 계산함으로써 각 점 x에서의 기울기를 알 수 있다.

위 식의 값이 정의되는 경우를 '미분 가능하다'고 하다. 이때 함수가 불연속한 점을 갖거나 첨점(Sharp point)이 있을 경우 미분 불가능한 점이 있을 수 있다.

즉, 함수가 연속이면서 매끄러운(continuous and smooth) 경우에만 모든 점에서 미분을 계산할 수 있다.

또한 f(x) 대신 dydx로도 '미분'을 표기할 수 있다.

 

 

정말 미분 값이 0이면 항상 최대값이라고 할 수 있을까?

f(x0)=0이라고 하자. f(x0)은 최대값일 수도, 최소값일 수도 있다. 미분값이 0인 점은 최소거나 최대다.

ab에 대해 f(a)=f(b)=0일 수 있으며, 이때 어느쪽이 최대인지 알려면 f(a)f(b)를 비교하는 방법밖에 없다.

미분 값이 0이라고 해서 '여기가 최대다!'라고 단정지을 수 없다는 얘기다.

 

ⓑ 하나 이상의 "극대값(local maximum)"이 존재할 수 있다.

함수의 일부에서는 최대지만 전체에서는 최대가 아닐 수 있다.

즉 함수 전체에서 가장 값이 크진 않지만 주위의 모든 함수값보다 큰 값을 갖는 경우가 바로 이런 경우이며, 이런 값을 '극대값'이라고 한다.

반대인 '극소값'도 존재한다.

 

ⓒ 최대값도, 최소값도 아니면서 미분값이 0이 될 수도 있다.

예를 들어 증가하다가 얼마 동안 평탄하고(기울기=0) 다시 증가하는 함수의 경우 기울기가 0인 점이 반드시 최대/최소점이라고 할 수 없다. f(x)=x3에서 점 x=0이 대표적인 경우다.

 

 

이윤 극대화(Maximizing profit)

어떤 회사가 가격 p, 수량 q에 대해 다음과 같은 수요를 갖는다고 하자.

q=102p

비용은 생산량의 2배라고 하자.

이 회사의 이익은 얼마인가? 이윤이 가장 큰 생산량은 얼마인가?

 

이윤 π는 (수입) - (비용)으로 정의된다. 그리고 수입은 (가격)×(생산량) = pq, 비용은 생산량×2이므로 2q로 정의된다.

답을 내기 위한 방법은 이윤을 수량 q로 표현하는 것이다.

주어진 식은 수요곡선이고, 수요곡선은 수입 식에서 가격 항을 제거하기 위해 쓰인다.

즉 주어진 식에 의해 p=10q2이므로 pq=(10q)q2가 되며, 이는 q의 함수로 표현된 이윤이므로 다음이 성립한다.

 

π(q)=pq2q=(10q)q22q=5q12q22q=3q12q2

 

이윤이 극대화되는 점은 π(q)=3q 에서 π(3)=0이므로 이윤이 극대화 되는 생산량 q3이다.

그리고 이 q를 주어진 수요곡선에 대입하면 3=102p이므로 이윤이 극대화되는 가격 p72이 된다.