[미시경제학] 에 필요한 미분적분학

교수님이 미적분 관련 자료를 주셨는데 원서 자료라서 급할 때 보려면 미리 해석+요약을 해놔야 될 것 같다...

 

 

요약)

$y=f(x)$라 하자.

$y$의 최대값은 $f'(x)=0$이라고 둠으로써 찾을 수 있다.

즉 $x\; s.t.\; f'(x)=0$에 대해 $y=f(x)$는 최대값을 갖는다.

이 때 $y$는 이익(profit), $x$는 생산량(quantity produced)이다.

 

 

 

함수와 미분

경제학에서는(그리고 다른 여러 분야도 마찬 가지로) 다음과 같이 두 변수의 관계를 자주 사용한다.

 

가격에 따른 수요, 생산량에 따른 비용, ...

 

이런 관계를 "함수(Functions)"라고 부른다.

더 엄밀히는, 어떤 함수 $f$는 $x$의 각 가능한 값에 단일 값 $y$를 assign한다. 그리고 이를 $y=f(x)$로 표기한다.

 

함수를 구상하는 가장 쉬운 방법은 $xy$좌표에 그려보는 것이다. 일반적으로 연속함수에 관심을 둘 것이다.

함수의 기울기는 그 함수가 얼마나 가파른지 나타내는 척도다. 이는 $x$ 변화에 대한 $y$ 변화의 비율($\frac{\Delta y}{\Delta x}$)로 정의된다.

직선에 대해서는 두 점을 고르고 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$을 계산함으로써 기울기를 알 수 있다. 그러나 대부분의 함수는 모든 점에서 기울기 값이 다르다. 모든 점에 대해 접선을 그려보는 것도 하나의 방법이겠으나, 가장 쉬운 방법은 다음을 계산하는 것이다.

$\frac{\Delta y}{\Delta x}\; =\; \frac{f(x + \Delta x)\;- \;f(x)}{\Delta x}$

위 식을 함수 $f(x)$의 미분(derivative) $f'(x)$라 하며, 이를 계산함으로써 각 점 $x$에서의 기울기를 알 수 있다.

위 식의 값이 정의되는 경우를 '미분 가능하다'고 하다. 이때 함수가 불연속한 점을 갖거나 첨점(Sharp point)이 있을 경우 미분 불가능한 점이 있을 수 있다.

즉, 함수가 연속이면서 매끄러운(continuous and smooth) 경우에만 모든 점에서 미분을 계산할 수 있다.

또한 $f'(x)$ 대신 $\frac{dy}{dx}$로도 '미분'을 표기할 수 있다.

 

 

정말 미분 값이 0이면 항상 최대값이라고 할 수 있을까?

ⓐ $f'(x_0)=0$이라고 하자. $f(x_0)$은 최대값일 수도, 최소값일 수도 있다. 미분값이 0인 점은 최소거나 최대다.

즉 $a \neq b$에 대해 $f'(a) = f'(b) = 0$일 수 있으며, 이때 어느쪽이 최대인지 알려면 $f(a)$와 $f(b)$를 비교하는 방법밖에 없다.

미분 값이 0이라고 해서 '여기가 최대다!'라고 단정지을 수 없다는 얘기다.

 

ⓑ 하나 이상의 "극대값(local maximum)"이 존재할 수 있다.

함수의 일부에서는 최대지만 전체에서는 최대가 아닐 수 있다.

즉 함수 전체에서 가장 값이 크진 않지만 주위의 모든 함수값보다 큰 값을 갖는 경우가 바로 이런 경우이며, 이런 값을 '극대값'이라고 한다.

반대인 '극소값'도 존재한다.

 

ⓒ 최대값도, 최소값도 아니면서 미분값이 0이 될 수도 있다.

예를 들어 증가하다가 얼마 동안 평탄하고(기울기=0) 다시 증가하는 함수의 경우 기울기가 0인 점이 반드시 최대/최소점이라고 할 수 없다. $f(x)=x^3$에서 점 $x=0$이 대표적인 경우다.

 

 

이윤 극대화(Maximizing profit)

어떤 회사가 가격 $p$, 수량 $q$에 대해 다음과 같은 수요를 갖는다고 하자.

$q = 10 - 2p$

비용은 생산량의 2배라고 하자.

이 회사의 이익은 얼마인가? 이윤이 가장 큰 생산량은 얼마인가?

 

이윤 $\pi$는 (수입) - (비용)으로 정의된다. 그리고 수입은 (가격)×(생산량) = $pq$, 비용은 생산량×2이므로 $2q$로 정의된다.

답을 내기 위한 방법은 이윤을 수량 $q$로 표현하는 것이다.

주어진 식은 수요곡선이고, 수요곡선은 수입 식에서 가격 항을 제거하기 위해 쓰인다.

즉 주어진 식에 의해 $p=\frac{10-q}{2}$이므로 $pq=\frac{(10-q)q}{2}$가 되며, 이는 $q$의 함수로 표현된 이윤이므로 다음이 성립한다.

 

$\pi(q)\; =\; pq - 2q\;= \; \frac{(10-q)q}{2} - 2q\; =\; 5q - \frac{1}{2}q^2 - 2q\; =\; 3q - \frac{1}{2}q^2$

 

이윤이 극대화되는 점은 $\pi'(q)=3-q$ 에서 $\pi'(3)=0$이므로 이윤이 극대화 되는 생산량 $q$는 $3$이다.

그리고 이 $q$를 주어진 수요곡선에 대입하면 $3 = 10 - 2p$이므로 이윤이 극대화되는 가격 $p$는 $\frac{7}{2}$이 된다.